Student Learning Opportunities 1

 Tujuan: 

Gunakan statistik yang sesuai dengan bentuk distribusi data untuk membandingkan pusat (median, mean) dan penyebaran (rentang interkuartil, deviasi standar) dari dua atau lebih kumpulan data yang berbeda.

Aktivitas S-ID2: 

Bekerja berpasangan atau kelompok yang terdiri dari tiga orang, siswa akan membandingkan bentuk dua distribusi data yang berbeda.

Bahan-bahan:

Tampilan data yang dibuat siswa pada kegiatan sebelumnya; S-ID.2 yang dapat direproduksi, “Pedoman Membandingkan Dua Kumpulan Data Berbeda,” untuk setiap pasangan atau kelompok siswa. Opsional: Kalkulator dengan fungsi untuk menghitung deviasi standar untuk setiap pasangan atau kelompok siswa

Prosedur:

1. Tinjau kembali bahwa sebaran data merupakan susunan relatif dari sekumpulan angka. Statistik dapat berguna untuk membandingkan bentuk distribusi data untuk kumpulan data yang berbeda.

2. Jelaskan kepada siswa Anda bahwa mereka akan bekerja dengan tampilan data—plot titik, histogram, dan plot kotak—yang mereka buat sebelumnya dan gunakan statistik untuk membandingkan bentuk distribusi data. Mereka harus mempertimbangkan data yang dihasilkan dengan melempar dadu sebagai satu kumpulan data dan data yang dihasilkan oleh generator bilangan bulat acak sebagai kumpulan data lainnya.

3. Jelaskan bahwa reprodusibel berisi pedoman untuk membantu siswa mendeskripsikan pusat dan penyebaran data dengan benar. Siswa harus mengacu pada pedoman untuk membandingkan distribusi data mereka. Mereka harus merangkum temuan mereka. (Catatan: Langkah-langkah yang diberikan untuk mencari simpangan baku mengacu pada simpangan baku populasi dan bukan simpangan baku sampel)

Penutup:

Diskusikan temuan siswa Anda, terutama temuan yang sangat berbeda dari apa yang tampak pada umumnya.

sumber: Muschla, et al. 2015. Teaching The Common Core Math Standards With Hands on Activities Grades 9-12. Jossey-Bass

Tujuan: 

Menyajikan data dengan plot pada garis bilangan real (plot titik, histogram, dan box plots).

Aktivitas S-ID1: 

Menyajikan Data

Bahan-bahan:

Penggaris; spidol; sepasang dadu, kalkulator grafik untuk menghasilkan bilangan bulat acak; kertas grafik; kertas grafik tempel berukuran besar untuk setiap pasangan atau kelompok siswa.

Prosedur:

1. Jika perlu, tinjau tampilan data berikut dan berikan contohnya masing-masing. Contoh tampilan data ini mungkin terdapat dalam teks matematika Anda atau dapat dengan mudah ditemukan secara online dengan mencari tampilan berdasarkan nama.

• Plot titik adalah diagram yang merepresentasikan data dengan menggunakan titik-titik yang ditempatkan pada garis bilangan.
• Histogram mengelompokkan data ke dalam rentang dan menampilkan data sebagai batang persegi panjang yang berdekatan.
• Plot kotak menunjukkan data yang dibagi menjadi empat bagian yang disebut kuartil. Ini juga dikenal sebagai box-and-whisker plot.

2. Jelaskan bahwa siswa harus menghasilkan data, yang harus mereka wakili dalam plot titik, histogram, dan plot kotak. 

    Pertama, mereka akan menghasilkan data untuk setiap tampilan dengan melempar sepasang dadu sebanyak 15 kali. Mereka harus mencatat berapa kali angka 2, 3, 4,… dan 12 muncul. Mereka akan mewakili data ini pada setiap tampilan data dan menunjukkan bahwa data tersebut dihasilkan dengan melempar dadu. 

    Selanjutnya, dengan menggunakan kalkulator grafik, mereka akan menghasilkan 15 bilangan bulat acak yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 13, dan mencatat berapa kali kemunculan 2, 3, 4,… dan 12. Mereka akan mewakili data ini pada ketiga tampilan data dan menunjukkan bahwa data tersebut dihasilkan menggunakan kalkulator acak. (Catatan: Penekanan tombol untuk menghasilkan bilangan bulat acak dapat bervariasi sesuai dengan model kalkulator grafik tertentu. Lihat manual Anda. Anda juga dapat menemukan generator bilangan bulat acak online dengan mencari “generator bilangan bulat acak.”)

3. Sarankan agar siswa menggambar tampilan data terlebih dahulu pada kertas grafik standar dan kemudian, setelah mereka yakin bahwa tampilan tersebut benar, gambarlah tampilan tersebut pada selembar kertas grafik tempel yang besar. Karena siswa akan mewakili setiap kumpulan data pada tiga tampilan, makalah mereka harus berisi enam tampilan data. Siswa harus mencantumkan namanya pada kertas tersebut.

4. Mintalah siswa Anda menempelkan datanya di dinding dan biarkan siswa membandingkan hasilnya dengan siswa lain.

Penutup:

Diskusikan pekerjaan siswa Anda. 

Tanyakan kepada siswa Anda, jika ada, apa yang menurut Anda sama pada data tersebut? Jika ada, apa yang berbeda? Apakah ada tampilan data yang berbeda secara signifikan dari yang lain? Mengapa hal ini bisa terjadi? 

Catatan: Simpan data siswa Anda dan tampilan data untuk kegiatan selanjutnya untuk S-ID2

sumber: Muschla, et al. 2015. Teaching The Common Core Math Standards With Hands on Activities Grades 9-12. Jossey-Bass

Baca juga: Ide Kegiatan Statistik dan Probabilitas di Kelas (S-ID2)

Kenapa belajar Peluang?

    Matematika adalah logika kepastian; probabilitas adalah logika ketidakpastian. Probabilitas sangat berguna dalam berbagai bidang, karena ia menyediakan alat untuk memahami dan menjelaskan variasi, memisahkan sinyal dari noise, dan memodelkan fenomena kompleks. Untuk memberikan contoh kecil dari daftar aplikasi yang terus bertambah:

1. Statistika: Probabilitas adalah dasar dan bahasa statistik, yang memungkinkan banyak metode ampuh dalam menggunakan data untuk mempelajari dunia.
2. Fisika: Einstein terkenal mengatakan "Tuhan tidak bermain dadu dengan alam semesta", namun pemahaman fisika kuantum saat ini sangat melibatkan probabilitas pada tingkat alam yang paling mendasar. Mekanika statistik adalah cabang utama fisika lainnya yang dibangun berdasarkan probabilitas.
3. Biologi: Genetika sangat terkait dengan probabilitas, baik dalam pewarisan gen maupun dalam pemodelan mutasi acak.
4. Ilmu komputer: Algoritme acak membuat pilihan acak saat dijalankan, dan dalam banyak aplikasi penting, algoritma ini lebih sederhana dan efisien dibandingkan alternatif deterministik yang dikenal saat ini. Probabilitas juga memainkan peran penting dalam mempelajari kinerja algoritma, dan dalam pembelajaran mesin dan kecerdasan buatan.
5. Meteorologi: Prakiraan cuaca (atau seharusnya) dihitung dan dinyatakan dalam bentuk probabilitas.
6. Perjudian: Banyak penyelidikan awal tentang probabilitas ditujukan untuk menjawab pertanyaan tentang perjudian dan permainan untung-untungan.
7. Keuangan: Dengan adanya risiko redundansi seperti contoh sebelumnya, perlu diperhatikan bahwa probabilitas merupakan hal yang penting dalam keuangan kuantitatif. Memodelkan harga saham dari waktu ke waktu dan menentukan harga yang wajar untuk instrumen keuangan sangat didasarkan pada probabilitas.
8. Ilmu politik: Dalam beberapa tahun terakhir, ilmu politik semakin bersifat kuantitatif dan statistik, dengan penerapan seperti menganalisis survei opini publik, menilai persekongkolan, dan memprediksi pemilu.
9. Kedokteran: Perkembangan uji klinis acak, di mana pasien secara acak ditugaskan untuk menerima pengobatan atau plasebo, telah mengubah penelitian medis dalam beberapa tahun terakhir. Seperti yang dikemukakan oleh ahli biostatistik David Harrington, Beberapa orang menduga bahwa ini bisa menjadi kemajuan paling signifikan dalam bidang kedokteran ilmiah di abad ke-20. . . . Dalam salah satu ironi yang menarik dari sains modern, uji coba secara acak 'menyesuaikan' heterogenitas yang teramati dan tidak teramati dalam eksperimen terkontrol dengan memasukkan variasi peluang ke dalam desain penelitian." [16]
10. Kehidupan: Hidup ini tidak pasti, dan probabilitas adalah logika ketidakpastian. Meskipun tidak praktis untuk melakukan penghitungan probabilitas formal untuk setiap keputusan yang dibuat dalam hidup, berpikir keras tentang probabilitas dapat membantu kita mencegah beberapa kesalahan umum, menjelaskan kebetulan, dan membuat prediksi yang lebih baik.

    Probabilitas menyediakan prosedur-prosedur untuk pemecahan masalah yang berprinsip, namun ia juga dapat menghasilkan jebakan dan paradoks. Sebagai contoh, kita akan melihat dalam bab ini bahwa bahkan Gottfried Wilhelm von Leibniz dan Sir Isaac Newton, dua orang yang secara independen menemukan kalkulus pada abad ke-17, tidak kebal terhadap kesalahan mendasar dalam probabilitas.

1. Simulasi: Aspek probabilitas yang indah adalah sering kali kita dapat mempelajari masalah melalui simulasi. Daripada terus menerus berdebat mengenai suatu jawaban dengan orang yang tidak sependapat dengan Anda, Anda bisa menjalankan simulasi dan melihat secara empiris siapa yang benar. Setiap bab dalam buku ini diakhiri dengan bagian yang memberikan contoh bagaimana melakukan perhitungan dan simulasi di R, lingkungan komputasi statistik gratis.

2. Biohazards: Mempelajari kesalahan umum penting untuk mendapatkan pemahaman yang lebih kuat tentang kemungkinan yang masuk akal dan tidak valid. Dalam buku ini, kesalahan umum disebut biohazards dan dilambangkan dengan h (karena kesalahan seperti itu dapat membahayakan kesehatan!)

3. Pemeriksaan kewarasan: Setelah menyelesaikan suatu masalah dengan satu cara, kita akan sering mencoba menyelesaikan masalah yang sama dengan cara yang berbeda atau memeriksa apakah jawaban kita masuk akal dalam kasus sederhana dan ekstrim.

Ruang sampel dan Pebble World

    Kerangka matematika untuk probabilitas dibangun berdasarkan himpunan. Bayangkan sebuah eksperimen dilakukan dan menghasilkan satu dari serangkaian kemungkinan hasil. Sebelum percobaan dilakukan, tidak diketahui hasil apa yang akan dihasilkan; setelah itu, hasilnya "mengkristal" menjadi hasil sebenarnya.

    Definisi 1.2.1 (Contoh ruang dan kejadian). Ruang sampel S suatu percobaan adalah himpunan semua kemungkinan hasil percobaan tersebut. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, dan kita katakan bahwa A terjadi jika hasil sebenarnya ada di A.

Ruang sampel sebagai Pebble World, dengan dua peristiwa A dan B yang disorot.

    Ruang sampel suatu eksperimen dapat berhingga, tak terhingga terhitung, atau tak terhingga tak terhitung (lihat Bagian A.1.5 pada lampiran matematika untuk penjelasan tentang himpunan terhitung dan tak terhitung). Jika ruang sampelnya terbatas, kita dapat memvisualisasikannya sebagai Pebble World, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.1. Setiap kerikil mewakili suatu hasil, dan suatu peristiwa adalah sekumpulan kerikil.

    Melakukan percobaan sama dengan memilih satu kerikil secara acak. Jika semua kerikil memiliki massa yang sama, semua kerikil mempunyai peluang yang sama untuk terpilih. Kasus khusus ini adalah topik dari dua bagian berikutnya. Di Bagian 1.6, kami memberikan definisi umum tentang probabilitas yang memungkinkan kerikil berbeda massanya.

    Teori himpunan sangat berguna dalam hal probabilitas, karena teori ini menyediakan bahasa yang kaya untuk mengekspresikan dan menangani peristiwa; Bagian A.1 dari lampiran matematika memberikan tinjauan teori himpunan. Operasi himpunan, terutama gabungan, perpotongan, dan pelengkap, memudahkan pembuatan peristiwa baru dalam kaitannya dengan peristiwa yang sudah ditentukan. Konsep-konsep ini juga memungkinkan kita mengekspresikan suatu peristiwa dalam lebih dari satu cara; sering kali, satu ekspresi untuk suatu peristiwa lebih mudah dikerjakan dibandingkan ekspresi lain untuk peristiwa yang sama.

sumber: Blitzstein, J.K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). Chapman and Hall/CRC. 

From the book "THE MATHEMATICS THAT EVERY SECONDARY SCHOOL MATH TEACHER NEEDS TO KNOW" by Alan Sultan & Alice. 

Chapter 13. Data Analysis and Probability.

    Materi ini merupakan salah satu cabang matematika yang menarik untuk diajarkan sebagaimana penerapannya banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, perusahaan asuransi jiwa Misalnya, perusahaan asuransi jiwa memutuskan tarif mereka berdasarkan persentase orang yang mereka yakini akan meninggal pada tahun mendatang, selain itu dengan cara yang sama, perusahaan asuransi mobil memutuskan tarifnya pada persentase pelanggannya yang mereka perkirakan akan mengalami kecelakaan. Bagaimana mereka bisa mengetahui berapa persen pelanggan mereka yang akan mengalami kecelakaan? Jawabannya adalah mereka tidak bisa. Tapi yang bisa mereka lakukan hanyalah memperkirakan apa yang seharusnya terjadi pada persentase pengemudi yang pernah mengalami kecelakaan di masa lalu. Pada perusahaan asuransi yang saya temukan, sebagian besarnya ditemukan terdapat keteraturan tertentu dalam persentase pelanggan mereka yang terlibat dalam kecelakaan dari tahun ke tahun. Hal ini didasarkan pada data bertahun-tahun dari jutaan pengemudi. Dengan demikian, data mereka berasal dari populasi yang sangat besar. Terkadang persentasenya bervariasi. Misalnya, ketika undang-undang sabuk pengaman diterapkan, persentase kematian akibat kecelakaan mobil menurun, dan hal itu, pada gilirannya, memengaruhi analisis mereka.

    Studi tentang probabilitas adalah studi tentang kemungkinan terjadinya peristiwa dan inilah mengapa probabilitas sering kali didefinisikan sebagai studi tentang peluang. Ketika kami mengatakan kemungkinan hujan adalah 45% saat ini, kami mengatakan bahwa, di masa lalu, ketika kondisinya sama dengan sekarang, hujan menghasilkan sekitar 45% dari keseluruhan waktu. Tentu saja, hal ini tidak menjamin apa pun mengenai apa yang akan terjadi saat ini, namun hal ini memberi kita data yang dapat digunakan untuk mengambil keputusan. Misalnya, haruskah kita membawa payung hari ini? Bagi sebagian orang, peluang turun hujan sebesar 45% tidak cukup untuk membawa payung. Bagi yang lain, itu cukup jadi dasar seseorang membawa payung.

1. Ide Dasar Peluang

Maxine suka bermain lotere. Dia mengklaim dia memiliki peluang lebih besar untuk menang jika dia terus bertaruh lima nomor lotre yang sama setiap saat. Tapi Molly mengatakan bahwa lebih baik jika Anda memilih secara acak lima angka untuk jangka waktu yang sama. Sophie mengatakan tidak masalah bagaimana Anda memilih nomor Anda. Siapa yang benar? Mengapa?

2. Berbagai Pendekatan dari Peluang

    Setiap orang pernah mendengar pernyataan seperti, 

“Jika kita melempar sebuah koin secara adil, peluang munculnya ‘gambar’ adalah 1/2.” 

    Apa artinya ini? Apakah ini berarti kita dapat yakin jika kita melempar sebuah koin sebanyak sepuluh kali bahwa 50% dari gambar akan muncul? Jawabannya adalah, “Tentu saja tidak.” Setiap anak tahu bahwa ketika kita melempar koin, segala sesuatu dapat muncul dan dalam urutan apa pun. Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak 5 kali, kemungkinan besar kita akan mendapatkan 5 gambar berturut-turut. Atau, kita mungkin mendapatkan gambar-angka-gambar-angka-gambar. Mengatakan bahwa peluang munculnya gambar adalah 1/2 berarti, jika kita melempar koin berkali-kali dan mengukur rasio munculnya gambar dengan jumlah total pelemparan, kita akan mendapatkan memperkirakan rasio itu mendekati 1/2. Jadi, jika kita melempar koin, katakanlah, satu juta kali, kita perkirakan akan ada sekitar 500 ribu lemparan yang akan memunculkan gambar. Akankah hal ini benar-benar terjadi? Bukankah mungkin kita bisa mendapatkan jutaan kali flips yang semuanya memunculkan gambar? Tidak mungkin, tapi mungkin! Namun ketika banyak sekali orang yang melempar koin jutaan kali, dan kita menjumlahkan jumlah pelemparan dan jumlah gambar yang muncul, kita mengatakan bahwa kita yakin gambar akan muncul sekitar 50% dari keseluruhan waktu. Jadi bagaimana kita memeriksa pernyataan ini? Apakah kita hanya melempar koin setiap hari dan memeriksa pernyataan kita seperti itu? Bisa saja, tapi meskipun kami menemukan rasio head to flips kami adalah 1/2, tidak ada jaminan bahwa, ketika orang lain melakukan hal yang sama, hasilnya akan sama, atau ketika kami menggabungkan semua hasil kami maka kami akan melakukannya. mendekati 50%. Jadi, sebagai jawaban atas pertanyaan kita, “Bagaimana kita memeriksa pernyataan ini?” jawabannya adalah, kami tidak melakukannya.

    Ketika kita mengatakan bahwa probabilitas munculnya gambar adalah 1/2, kita menggunakan model yang mengungkapkan keyakinan kita bahwa banyak pelemparan akan menghasilkan rasio gambar terhadap jumlah total pelemparan kira-kira 1/2. Model ini dikenal sebagai pendekatan frekuensi. Sekarang, perhatikan bahwa tidak semua model bagus. Namun model ini telah ada selama beberapa ratus tahun, dan didasarkan pada apa yang telah kami amati di masa lalu, dan apa yang kami yakini akan selalu terjadi dalam jumlah besar. Apa yang berbeda dari model ini adalah kita tidak pernah bisa benar-benar memeriksa keyakinan kita, meskipun dalam satu juta kali lemparan, rasio gambar dan lemparan mungkin mendekati 1/2, meskipun kecil kemungkinannya, pada saat kita mencapai satu miliar lemparan, segalanya mungkin berubah. Hal ini tidak seperti hukum Hooke (lihat Bab 9) untuk pegas, dimana kita dapat menguji pegas demi pegas dan melihat bahwa hukum Hooke benar. 

    Probabilitas adalah jenis model yang berbeda. Secara umum, jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu peristiwa selama suatu percobaan dengan menggunakan pendekatan frekuensi, kita melakukan percobaan tersebut berkali-kali. Setiap kali kita melakukan percobaan, kita telah melakukan apa yang disebut percobaan. Setiap kali peristiwa yang kita minati terjadi, kita mengatakan bahwa kita sukses. Jika n adalah jumlah percobaan yang dilakukan dan S adalah jumlah keberhasilan, probabilitas, p, dari kejadian tersebut didefinisikan sebagai berikut.

    Dengan menggunakan pendekatan frekuensi, untuk mencari peluang suatu kejadian kita perlu mengambil limit sebagai, n→∞. Jelasnya, kita tidak dapat melakukan uji coba dalam jumlah besar, jadi orang yang praktis harus mampu memperkirakan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Hal ini dilakukan dengan melakukan percobaan dalam jumlah yang tetap, namun berkali-kali, menghitung rasio keberhasilan terhadap jumlah total percobaan, dan menggunakan rasio tersebut sebagai perkiraan probabilitas sebenarnya terjadinya peristiwa tersebut. Rasio ini disebut probabilitas eksperimental atau probabilitas empiris suatu peristiwa. Orang tersebut kemudian menggunakan nomor ini dalam perhitungannya. Ternyata, ada banyak situasi di mana penggunaan probabilitas eksperimental adalah satu-satunya cara untuk menghitung probabilitas. Misalnya, perusahaan asuransi selalu menggunakan probabilitas eksperimental untuk menentukan harga polis asuransi jiwa mereka. Jika mereka ingin menentukan kemungkinan bahwa, katakanlah seorang pria berusia 40 tahun yang merokok dan minum alkohol akan meninggal karena serangan jantung pada usia 60 tahun, mereka menggunakan data yang dikumpulkan dari catatan ekstensif orang-orang yang meninggal pada usia 60 tahun dan jatuh. termasuk dalam kategori ini, untuk menentukan harga polis asuransi jiwa bagi pria berusia 40 tahun yang merokok dan minum serta meminta untuk diasuransikan. Selain itu, hanya probabilitas eksperimental yang dapat digunakan untuk mencari probabilitas suatu benda tidak beraturan mendarat pada posisi tertentu. Sebagai kasus sederhana, misalkan seseorang mempunyai sebuah cangkir dan karena alasan tertentu ingin mengetahui kemungkinan cangkir tersebut akan mendarat miring ketika dilempar dan dibiarkan jatuh. Dia dapat melemparkan cangkirnya ke atas dan membiarkannya jatuh, katakanlah 1000 kali. Jika 914 kali cangkir itu mendarat miring, orang tersebut akan mengatakan bahwa kemungkinan terjadinya hal ini kira-kira 914/1000. 

    Dari sudut pandang instruksional, meminta siswa menghitung probabilitas eksperimen memberi mereka gambaran mengenai masalah dan firasat mengenai hasil yang masuk akal untuk probabilitas teoritis. Misalnya, seorang guru mungkin meminta siswanya untuk melempar sepasang dadu sebanyak 50 kali dan menghitung berapa kali jumlah sisi dadu tersebut menjadi 7 sebelum menghitung probabilitas teoritis kejadian ini. Jika nanti mereka menghitung probabilitas teoretisnya, mereka dapat menentukan apakah hasil yang mereka peroleh masuk akal atau tidak.

    Salah satu masalah dengan probabilitas eksperimen adalah, jika orang yang berbeda melakukan eksperimen tersebut sebanyak 1000 kali, hasilnya dapat sangat bervariasi. Jadi, masing-masing memiliki probabilitasnya sendiri untuk digunakan dalam perhitungan. Sebaliknya, probabilitas teoretis yang akan segera dibahas adalah angka yang tetap dan tidak bervariasi dari orang ke orang.

    Sekarang, misalkan kita mempunyai papan panah, yang sebagiannya berwarna kuning dan sisanya berwarna biru, dan kita bertanya, “Berapa peluang anak panah yang dilempar secara acak dan mengenai papan itu, mendarat di warna kuning?” Bisa dibilang kemungkinannya 1/2, alasannya hanya ada dua kemungkinan, salah satunya adalah mendarat di warna kuning. Hal ini mungkin tampak masuk akal. Tapi misalkan kita mempunyai papan panah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

    Sekarang apakah anda dapat mengatakan bahwa peluang atau peluang anak panah mengenai daerah kuning adalah 1/2? Lihatlah seberapa besar area kuning dibandingkan area biru. Hal ini mengarah pada gagasan tentang kemungkinan. Mendarat dengan warna kuning di papan dart tampaknya lebih mungkin terjadi daripada mendarat di warna biru, asalkan anak panah tersebut mengenai papan dart. Jadi, hanya karena kita mempunyai dua hasil tidak berarti probabilitas masing-masing hasil adalah 1/2.

    Contoh lain, misalkan seseorang melempar sepasang dadu. Jumlah angka yang muncul pada saat jatuhnya dadu bisa berupa angka berapa saja dari 2 sampai 12 dengan total 11 kemungkinan. Jika seseorang ditanya, “Berapa peluang munculnya angka 7 pada sebuah dadu?”, dia mungkin menjawab “1/11, sama dengan peluang munculnya angka 2”. Namun peluang terambilnya angka 2 tidak sama dengan peluang terambilnya angka 7, karena hanya ada satu cara untuk mendapat angka 2, yaitu setiap dadu jatuh dengan 1 titik ke atas yang kita nyatakan dengan pasangan terurut (1,1), dan ada beberapa cara untuk mendapatkan jumlah 7 (misalnya (1,6), (2,5), (3,4), (6,1), dan seterusnya). Jadi, kejadiannya mendapatkan jumlah 7 lebih besar kemungkinannya terjadi dibandingkan kejadian mendapat 2.

    Hal ini membawa kita pada apa yang disebut pendekatan klasik atau teoretis terhadap probabilitas dan pada definisi probabilitas yang banyak ditemukan di sebagian besar buku sekolah menengah yang dikenal sebagai definisi probabilitas klasik atau teoretis: Misalkan suatu eksperimen dapat menghasilkan n kemungkinan hasil yang sama, dan kita tertarik pada probabilitas kejadian, E, terjadi. Jika E terjadi tepat dalam m dari n hasil (yaitu, kita memperoleh “kesuksesan” sebanyak m dari n kali), maka peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah m/n. Berikut beberapa contohnya.

    Tidak ada alasan mengapa satu hal harus terjadi di atas yang lain, jadi semua kemungkinan memiliki kemungkinan yang sama. Oleh karena itu, probabilitasnya adalah 1/6 bahwa x ≤ y ≤ z.

    Masih ada aliran pemikiran ketiga mengenai probabilitas yang dikenal sebagai pendekatan subyektif terhadap probabilitas. Di sana, probabilitas suatu peristiwa adalah ukuran seberapa besar kemungkinan kita merasakan hasilnya, yang tentu saja bersifat subjektif. Tentu saja hal ini bisa berbeda-beda pada setiap orang. Seringkali dalam bisnis, para eksekutif membuat keputusan berdasarkan pertimbangan mereka mengenai kemungkinan subjektif bahwa suatu peristiwa akan terjadi.

2.1. Masalah Dengan Pendekatan Probabilitas

    Ada masalah dengan semua pendekatan probabilitas sebelumnya. Misalnya dengan pendekatan frekuensi, misalkan kita ingin menentukan probabilitas terjadinya suatu peristiwa. Berapa kali kita harus melakukan percobaan sebelum kita yakin bahwa rasio keberhasilan terhadap jumlah percobaan memberikan kita angka yang mendekati probabilitas “nyata” terjadinya peristiwa tersebut? Pernahkah kita yakin bahwa kita sudah dekat? Tahukah kita bahwa ada batasan dalam definisi probabilitas menurut definisi frekuensi, persamaan (13.1)? Bagaimana jika kita melakukan percobaan tersebut jutaan kali dan kemudian mengulanginya jutaan kali lagi? Apakah rasio jumlah hasil yang berhasil terhadap semua hasil akan sama atau bahkan mendekati satu sama lain dalam satu juta percobaan? Jika tidak, bagaimana kita bisa yakin bahwa definisi kita mempunyai arti? Misalkan tidak mungkin melakukan percobaan berkali-kali (misalnya menjatuhkan bom atom di suatu negara), bagaimana kita menentukan probabilitas suatu kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut?

    Definisi klasik juga mempunyai permasalahan. Pertama, ini hanya dapat diterapkan pada situasi dengan jumlah hasil yang terbatas. Bagaimana jika terdapat banyak hasil yang tak terhingga seperti yang akan terjadi pada contoh selanjutnya? Selain itu, jika kita mengetahui probabilitas klasik suatu kejadian adalah 1/6, apakah pendekatan frekuensi pada eksperimen tersebut juga akan menghasilkan 1/6 yang sama? Yaitu, apakah pendekatan-pendekatan tersebut kompatibel? Saat kami menggunakan pendekatan klasik, kami berasumsi bahwa kemungkinan hasilnya sama. Mungkin hal ini tidak terjadi dan kita sedang membangun landasan yang salah. (Memang ada contoh nyata dalam fisika atom di mana segala sesuatu menunjukkan kemungkinan yang sama, namun sesuatu di alam membuat kemungkinannya tidak sama. (Lihat Feller, 1968, hlm. 40–41.)

    Tentu saja, pendekatan subjektif terhadap probabilitas mempunyai lebih banyak masalah. Bisakah kita menyimpulkan sesuatu tentang probabilitas dengan menggunakan pendekatan subjektif? Jika bersifat subjektif, apa arti probabilitas 50% dalam praktiknya? Hal ini menunjukkan apa yang bisa kita harapkan? Jika seseorang menilai probabilitas suatu kejadian adalah 0,50 dan orang lain 0,90, apakah salah satu dari mereka benar, dan bukankah kesimpulan yang diambil oleh masing-masing orang mungkin berbeda?

    Mengingat kesulitan yang dihadapi masing-masing dari ketiga pendekatan terhadap probabilitas, para ahli matematika yang mengutamakan presisi, mencoba mengembangkan cara untuk meletakkan probabilitas pada landasan matematika yang kokoh, yang akan kita bahas di bagian selanjutnya.

Dalam kejahatan di sebuah Universitas di bagian utara New York, ditentukan bahwa pelakunya adalah seorang mahasiswa yang mengenakan celana olahraga Cornell dan kaus New York. Seorang siswa ditangkap karena mengenakan kedua pakaian ini pada malam terjadinya kejahatan. Pembelaan memberikan bukti yang menunjukkan kemungkinan bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak di bagian utara New York akan mengenakan celana olahraga Cornell adalah 1/10, dan kemungkinan bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak di Cornell akan mengenakan kaus New York adalah 1/5. Jaksa menyimpulkan bahwa peluang seorang siswa mengenakan celana olahraga Cornell dan kaus New York adalah (1/10)(1/5) = 1/50 = 2%, yang cukup besar untuk menimbulkan keraguan yang masuk akal bagi juri. Masalah: Menurut Anda, apakah tuntutan jaksa mengenai kemungkinan tersebut benar atau salah? Dalam tiga kalimat atau kurang, jelaskan kesimpulan Anda. Asumsikan 1/10 dan 1/5 adalah probabilitas yang akurat.

    Masalah-masalah yang bergantung pada analisis probabilistik, seperti yang ditunjukkan dalam pertanyaan peluncuran, secara mengejutkan merupakan bagian dari kehidupan kita sehari-hari. Seringkali, pernyataan probabilistik berasal dari data yang memiliki implikasi terhadap hal-hal seperti: peradilan pidana, keputusan yang kita buat tentang cara berpakaian setiap hari, keputusan yang diambil pembeli tentang jumlah dan jenis barang yang akan dibeli untuk dijual oleh perusahaan mereka, dan biaya. perusahaan asuransi mengenakan biaya tergantung pada kondisi tertentu. Untuk memperoleh pernyataan probabilistik dari data, digunakan pendekatan teori himpunan, yang dijelaskan di bagian ini.

    Untuk menempatkan probabilitas pada landasan matematika yang kuat, ahli matematika Kolmogorov menyarankan pendekatan teori himpunan berikut, yang telah mendapat banyak dukungan di kalangan ahli matematika dan terlihat dalam kursus sekolah menengah. Para ahli matematika di seluruh dunia merasa bahwa setiap pendekatan yang layak terhadap probabilitas harus memenuhi aksioma yang disajikan di bagian ini.

    Pertama, kita memerlukan latar belakang. Saat kita melakukan suatu eksperimen, himpunan semua hasil disebut ruang sampel untuk eksperimen tersebut. Ruang sampel kita nyatakan dengan huruf S. Jadi, jika kita melempar sebuah dadu (“percobaan” kita) dan ingin mengetahui berapa banyak titik yang akan menghadap ke atas ketika dadu tersebut mendarat, ruang sampel kita, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika kita melempar sepasang dadu (“percobaan” yang lain), misalnya dadu merah dan dadu biru, dan ingin mengetahui cara jatuhnya dadu, maka ruang sampelnya adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . ., (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), . . ., (2, 6), . . ., (6, 1), (6, 2), (6, 3), . . (6, 6)} yang terdiri dari 36 pasang angka berurutan dimana angka pertama pada setiap pasangan berurutan adalah angka yang menghadap ke atas pada dadu merah dan angka kedua adalah angka yang menghadap ke atas pada dadu biru. Tentu saja, jika kita tidak tertarik pada apa yang muncul pada masing-masing dadu tetapi tertarik pada jumlah total titik yang muncul ketika dadu dilempar, maka ruang sampel kita adalah S = {2, 3, 4, . . . 11, 12} karena ini adalah satu-satunya jumlah yang mungkin didapat. Singkatnya, ruang sampel bergantung pada apa yang ingin kita catat saat kita melakukan eksperimen.

    Suatu kejadian, menurut pendekatan teoretis ini, didefinisikan sebagai himpunan bagian dari ruang sampel. Jadi, jika kita melempar sebuah dadu, dan kita tertarik pada kejadian E, yang memunculkan bilangan prima, maka E dapat dideskripsikan. dengan himpunan bagian E = {2, 3, 5} dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peristiwa F yang memunculkan bilangan genap dapat dijelaskan dengan himpunan bagian F = {2, 4, 6} dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Setiap peristiwa terdiri dari peristiwa tunggal. Misalnya kejadian munculnya bilangan genap pada sebuah dadu, yaitu kejadian F = {2, 4, 6} yang terdiri dari tiga kejadian tunggal {2}, {4}, dan {6} . Jika salah satu kejadian tunggal ini terjadi, F telah terjadi. Artinya, jika muncul angka 2 pada suatu pelemparan, maka kejadian “munculnya angka genap” terjadi.

Bila dua kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan, maka kejadian-kejadian tersebut disebut saling lepas. Jadi, kejadian A, pelemparan sebuah dadu menghasilkan bilangan genap, dan kejadian B, pelemparan sebuah dadu menghasilkan bilangan ganjil, saling lepas, karena tidak akan diperoleh bilangan genap.

pelemparan bilangan genap dan bilangan ganjil sekaligus. Sebaliknya, jika kita mengambil sebuah kartu dari tumpukan kartu dan, jika kita misalkan C adalah kejadian kartu tersebut bergambar dan D adalah kejadian bahwa kartu tersebut berasal dari jenis wajik, maka C dan D adalah bukan saling eksklusif, karena menggambar setumpuk berlian berarti kita telah mencapai C dan D secara bersamaan.

Sangat mudah untuk mendeskripsikan kata “saling eksklusif” dalam bentuk himpunan. Kita telah mengamati dua paragraf yang lalu bahwa setiap kali singleton dalam rangkaian peristiwa A terjadi, maka peristiwa A telah terjadi.

Jadi, agar dua kejadian A dan B saling lepas, maka tidak boleh ada kejadian tunggal yang terjadi pada keduanya, atau keduanya akan terjadi. Artinya, A\B = f. Tentu saja, jika A \ B 6¼ ϕ, maka terdapat unsur persekutuan dan A dan B dapat terjadi secara bersamaan. Dengan demikian, keduanya tidak akan saling eksklusif. Singkatnya, dua kejadian, A dan B, saling lepas jika dan hanya jika A \ B = ϕ. Masih ada lagi. Karena setiap unsur persekutuan pada kedua himpunan A dan B berarti A dan B dapat terjadi secara bersamaan, maka himpunan unsur persekutuan pada A dan B adalah himpunan hasil yang mengakibatkan terjadinya kedua peristiwa tersebut. Dengan demikian, kejadian A dan B terjadi secara bersamaan dijelaskan oleh himpunan A \ B. Keuntungan dari pendekatan ini adalah kita sekarang dapat menggunakan hasil tentang himpunan, dan kita akan menunjukkan bahwa pernyataan probabilitas tertentu benar. Dengan cara yang sama, A [ B terdiri dari semua singleton yang ada di A atau B atau keduanya. Jika kita memilih singleton seperti itu di A [ B, maka A atau B atau keduanya telah terjadi.

Ringkasnya, kejadian yang terjadi baik A maupun B adalah himpunan A\B, dan kejadian terjadinya A atau B atau kedua-duanya adalah himpunan A[ B.

Kami sekarang menyajikan aksioma teoritis Kolmogorov untuk probabilitas. Anda akan melihat bahwa dia sengaja mengecualikan pemberian definisi probabilitas untuk menghindari masalah yang dibahas sebelumnya. Jadi, kita dapat menganggap probabilitas sebagai suatu istilah yang tidak terdefinisi dan kita mempunyai gagasan intuitif. Hal ini tidak berbeda dengan kesepakatan yang kita buat dalam geometri untuk membiarkan kata-kata tertentu seperti “titik” dan “garis” tidak terdefinisi dan bekerja dengan gagasan intuitif kita tentang kata-kata tersebut.

Umumnya diyakini bahwa kalkulus ditemukan secara independen pada akhir abad ke-17 oleh dua matematikawan besar: Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Namun, perselisihan tentang siapa yang pertama kali menemukan kalkulus menjadi skandal besar sekitar pergantian abad ke-18.

Seperti kebanyakan penemuan ilmiah, penemuan kalkulus tidak muncul dari ruang hampa. Faktanya, banyak ahli matematika dan filsuf yang kembali ke zaman kuno membuat penemuan yang berkaitan dengan kalkulus.

Orang Yunani kuno membuat banyak penemuan yang saat ini kita anggap sebagai bagian dari kalkulus — namun, sebagian besar kalkulus integral, yang akan dibahas dalam modul Integrasi. Matematikawan India di Kerala telah mengembangkan polinomial Taylor untuk fungsi seperti sin x dan cos x sebelum tahun 1500.

Pada awal abad ke-17, Fermat mengembangkan metode yang disebut adekualitas untuk menemukan di mana turunan dari suatu fungsi adalah nol, yaitu untuk menyelesaikan f′(x)=0. Tetapi baru pada Newton dan Leibniz gradien garis singgung kurva dapat dihitung secara umum.

Kontroversi Newton–Leibniz

Newton menggambarkan versinya tentang kalkulus diferensial sebagai 'metode fluksi'. Dia menulis sebuah makalah tentang fluxions pada tahun 1666, tetapi seperti banyak karyanya, itu tidak diterbitkan sampai beberapa dekade kemudian. Magnum opusnya Philosophiae naturalis principia mathematica (Prinsip matematika dari filsafat alam) diterbitkan pada tahun 1687. Karya ini mencakup teori gerak dan gravitasinya, tetapi tidak memasukkan banyak kalkulus secara eksplisit — meskipun ada beberapa penjelasan tentang kalkulus di awal, dan Newton tentu menggunakan kalkulus untuk merumuskan teorinya. Meskipun demikian, 'metode fluksi' Newton tidak secara eksplisit muncul di media cetak sampai tahun 1693.

Leibniz, di sisi lain, menerbitkan makalah pertamanya tentang kalkulus pada tahun 1684 - dan mengklaim telah menemukan kalkulus pada tahun 1670-an. Dari catatan yang dipublikasikan, setidaknya, Leibniz tampaknya lebih dulu menemukan kalkulus.

Sementara Newton dan Leibniz awalnya memiliki hubungan baik, Leibniz dan para pengikutnya tidak menerima pernyataan yang dibuat oleh ahli matematika Inggris John Wallis. Dengan karakter yang agak xenofobia dan suka bertengkar, Wallis berjuang melawan perselisihan prioritas atas nama ilmuwan Inggris sepanjang hidupnya. Pada tahun 1695, mungkin secara tidak sengaja, Wallis mengisyaratkan bahwa Leibniz belajar tentang kalkulus dari Newton - klaim yang sekarang diketahui salah.

Kemudian, tersinggung oleh pernyataan Leibniz bahwa masalah matematika tertentu hanya dapat diselesaikan oleh kalkulus versi Leibniz sendiri, seorang matematikawan bernama Fatio de Duiller pada tahun 1699 menuduh Leibniz melakukan plagiarisme. Hal-hal hanya pergi menurun dari sana. Itu tidak membantu masalah yang Newton dan Leibniz juga tidak setuju pada pertanyaan filosofis.

Pada tahun 1712, Royal Society di Inggris menulis sebuah laporan yang dimaksudkan untuk menyelesaikan masalah ini — kecuali, seluruh penyelidikan secara efektif diarahkan oleh Newton sendiri. Laporan tersebut menemukan bahwa Leibniz telah menyembunyikan pengetahuannya tentang pekerjaan Newton - berdasarkan fakta yang sekarang diketahui salah. Sebagai tanggapan, Leibniz menuduh Newton dan pengikutnya mencuri kalkulus Leibniz sendiri dan membuat kesalahan dalam penerapannya. Perselisihan itu berlangsung baik setelah kematian Leibniz pada tahun 1716, penuh dengan tuduhan dan tuduhan balik.

Tidak ada yang keluar dari perselisihan dengan baik. Baik Newton dan Leibniz mampu melakukan penemuan matematika yang luar biasa, tetapi perselisihan mereka menunjukkan bahwa mereka juga mampu melakukan beberapa perilaku yang kurang mengesankan.

Kalkulus yang ketat secara matematis

Baik versi kalkulus Newton maupun Leibniz jauh dari standar ketelitian yang dituntut oleh para matematikawan saat ini. Infinitesimals Leibniz seperti dx dan fluksi Newton adalah konsep yang banyak diperdebatkan tidak didefinisikan dengan baik atau tidak koheren.

Kritik yang paling pedas mungkin datang dari Uskup Berkeley (The Analyst, 1734), yang mencemooh fluxions dan infinitesimals:

And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?

Tidak sampai lebih dari satu abad kemudian ide-ide seperti limit diperkenalkan secara formal, dan diletakkan di atas pijakan matematis yang kokoh, sehingga hari ini kami menyajikan turunannya sebagai berikut

 HI, Assalamu'alaikum aku coba berbagi lagi ya sekalian sebagai arsip juga kalau-kalau tulisan yang di kertas tiba-tiba hilang huhu. Beberapa bulan kedepan bakalan update mengenai konsep-konsep esensial matematika yang saat ini memang sedang ku ambil mata kuliahnya di program pascasarjana UPI. Kalau di program sarjana memang mata kuliah ini seperti kapita selekta namun tanpa praktek mempresentasikan gitu. Pun materinya pun lebih di ulik lagi yang konseptualnya seperti apa sehingga diharapkan miskonsepsinya dapat diperbaiki. Berikut ini bab yang akan dipelajari:

1. Persamaan dan Pertidaksamaan 

--- Part 1

2. Sistem Persamaan

3. Fungsi

4. Geometri

5. Trigonometri

6. Logika dan Pembuktian dalam Matematika

Semoga saja bisa konsisten ya sampai beres semua! :D

 Buku ini terdiri dari 13 bagian dan mungkin akan aku jabarkan satu bagian sebagai satu post. Nah isinya tentang apa aja ini dia listnya:

1. Early Number Systems and Symbols

2. Mathematics in Early Civilizations

3. The Beginnings of Greek Mathematics

4. The Alexandrian School:Euclid

5. The Twilight of GreekMathematics: Diophantus

6. The First Awakening:Fibonacci

7. The Renaissance of Mathematics: Cardan and Tartaglia 

8. The Mechanical World:Descartes and Newton

9. The Development of ProbabilityTheory: Pascal, Bernoulli,and Laplace

10. The Revival of Number Theory:Fermat, Euler, and Gauss 

11. Nineteenth-CenturyContributions: Lobachevsky to Hilbert 

12. Transition to the TwentiethCentury: Cantor and Kronecker  

13. Extensions and Generalizations:Hardy, Hausdorff, and Noether